Question

在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）设直线与圆相切于第一象限内的点，直线与椭圆交于两点．若的面积为，求直线的方程．

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）由椭圆焦点可以确定，再利用点代入椭圆方程即可求出，从而得到椭圆方程；由圆O的直径为，即可知圆心坐标为，半径为，从而得到圆的方程.

（2）设切点坐标为，即可表示出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，利用求根公式求出，然后利用弦长公式表示，而由条件可求出，结合，即可求出,从而求出直线的方程.

(1)因为椭圆C的焦点为，

可设椭圆C的方程为．

又点在椭圆C上，所以，解得

因此，椭圆C的方程为．

因为圆O的直径为，所以其方程为．

（2）设直线与圆O相切于，

则，所以直线的方程为，

即．由消去y，得

①

因为三角形OAB的面积为，所以，从而，

设，由①得，

所以．因为，

所以，即，解得舍去），

则，因此P的坐标为．

故直线l的方程为:．