Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线向左平移2个单位，再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半（横坐标不变），得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.

Answer

（1）直线的极坐标方程： ；曲线的普通方程为：（2）

【解析】

（1）先消去参数得到曲线的普通方程，然后根据变换得到曲线的普通方程；根据直角坐标与极坐标的互化公式，即可得到直线的极坐标方程.

（2）先求出曲线的极坐标方程，然后将射线方程分别代入曲线和直线的极坐标方程，求出，从而利用距离公式即可求出.

(1)曲线C的普通方程为：，经过变换后得到的方程为：，

即的普通方程为：.

直线的极坐标方程为：，即：.

(2)由(1)可求的极坐标方程为：，令解得：，即：，∴，

同理直线的极坐标方程中令有：，

故.