Question

在直三棱柱中，，，D为线段AC的中点.

（1）求证：：

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由直三棱柱的定义可得,再根据等腰三角形性质可得,再由线面垂直的判定可得平面,即可证明.

（2）取线段的中点为,分别取作为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用向量数量积运算求得平面BC1D的法向量,即可由线面夹角的求法求得直线与平面所成角的余弦值.

（3）由平面BC1D的法向量和平面的法向量,即可利用法向量法求得二面角的余弦值.

（1）证明：由直三棱柱,可得底面,

∴.

∵,D为线段的中点.

∴,又,

∴平面,

∴.

（2）取线段的中点为,分别取作为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:

,

,,,

设平面BC1D的法向量为,

则•,代入可得,令可得

即.

∴直线与平面所成角的余弦值

||.

（3）,,.

设平面的法向量为,

则,代入可得,令,解得

即.

∴.

由图可知,二面角为锐二面角

∴二面角的余弦值为.