Question

已知椭圆的方程为（），其离心率，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），周长为6.过椭圆右焦点 的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，面积为.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）求直线的方程.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和周长,可求得.再由椭圆中的关系,即可求得,进而得椭圆的标准方程.

（2）根据椭圆的标准方程,可得右焦点坐标,设出直线方程和.联立直线与椭圆方程,可得关于的一元二次方程.由韦达定理表示出,,即可求得.由面积为可得关于的方程组,解方程即可求得的值,代入直线方程即可得解.

（1）由离心率,则

由周长为6,可得,

则,

,

所以椭圆的标准方程：；

（2）由（1）可知椭圆的右焦点,设直线的方程,

联立方程组,消去,整理得,

则,,

所以,

面积.

解得,即,

所以直线的方程为.