Question

已知，数列A：，，…中的项均为不大于的正整数.表示，，…中的个数（）.定义变换，将数列变成数列：，，…其中.

（1）若，对数列：，写出的值；

（2）已知对任意的（），存在中的项，使得.求证： （）的充分必要条件为（）；

（3）若，对于数列：，，…，令：，求证：（）.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据定义,表示,,…中的个数,即可由数列得的值.

（2）根据对任意的（）,存在中的项,使得,由充分必要条件的判定,分必要性与充分性两步分别证明即可.

（3）设：,,…的所有不同取值为,且满足：.设.根据,结合题意中的变换可得：,,,即可证明（）.

（1）∵,对数列:,

∴.

（2）证明：由于对任意的正整数（）,存在中的项,使得.所以均不为零.

必要性：（）,由于,

∴；；；…；.

通过解此方程组,可得（）成立.

充分性：若（）成立,不妨设（）,可以得到

∴；；；…；.

∴（）成立.

故（）的充分必要条件为（）

（3）证明：设：,,…的所有不同取值为,且满足：.

不妨设,

其中；；…；.

又∵,根据变换有：；；…；；

∴：,,,

即：,,,

∴：,,,

∵,

∴,,…,.

∴,

即：,,,

从而（）.

故（）