Question

已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.

（1）求向量与的夹角；

（2）设，且向量满足，求的最小值；

（3）在（2）的条件下，随机选取一个向量，求的概率.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据向量的垂直，转化出方程组，求解方程组即可；

（2）将向量赋予坐标，求得向量对应点的轨迹方程，将问题转化为圆外一点，到圆上一点的距离的最值问题，即可求解；

（3）根据余弦定理，解得，以及的临界状态时，对应的圆心角的大小，利用几何概型的概率计算公式，即可求解.

（1）因为

故可得，

解得 ①

②

由①-②可得

，解得，

将其代入①可得，即

将其代入②可得

解得，又向量夹角的范围为，

故向量与的夹角为.

（2）不妨设，

由

可得.

不妨设的起始点为坐标原点，终点为C.

因此，点C落在以)为圆心，1为半径的圆上（如图）.

因为，即

由圆的特点可知的最小值为，

即：.

（3）当时，因为，，满足勾股定理，

故容易得.

当时，假设此时点落在如图所示的F点处.如图所示.

因为，由余弦定理容易得

，故.

所以，本题化为，在半圆上任取一点C，点C落在弧CF上的概率.

由几何概型的概率计算可知：

的概率即为圆心角的弧度除以，

即.