Question

已知直线恒过定点，圆经过点和定点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)已知点为圆直径的一个端点，若另一端点为点，问轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先求出直线过定点，设圆的一般方程，由题意列方程组，即可求圆的方程；

（2）由（1）可知：求得直线的斜率，根据对称性求得点坐标，由在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得的值．

(1)直线的方程可化为，由解得

∴定点的坐标为． 设圆的方程为，则圆心

则依题意有 解得

∴圆的方程为；

(2)由(1)知圆的标准方程为,∴圆心，半径.

∵是直径的两个端点，∴圆心是与的中点，

∵轴上的点在圆外，∴是锐角，即不是直角顶点．

若是的直角顶点，则，得；

若是的直角顶点，则，得.

综上所述，在轴上存在一点，使为直角三角形，或.