Question

已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；

（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明见解析，；（3）或.

【解析】

（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．

(1)，可得，即；

时,,又，

相减可得,即，

则；

(2)证明：，

可得，

可得是首项和公差均为1的等差数列，

可得,即；

(3) ，

前n项和为，

，

相减可得

，

可得，

,即为，

即,对任意的成立，

由，

可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，

可得，即或.