Question

我边防局接到情报，在海礁所在直线的一侧点处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕：如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头处，公里，公里，；

（1）是否存在点，使快艇沿航线或的路程相等；如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由；

（2）问走私船在怎样的区域上时，路线比路线的路程短，请说明理由.

Answer

（1）存在，（2）走私船在直线 上侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线最短.

理由：设 的延长线与（1）中曲线交于点 ，则，.

【解析】

（1）建立平面直角坐标系，根据题意有，再利用双曲线的定义求解.

（2）延长 与（1）中曲线交于点 ，可得 ，再结合两边之差小于第三边，比较 与的大小.

（1）存在.

建立如图所示的坐标系，

根据题意得，

所以 的轨迹是双曲线的右支，

因为 ，

所以

所以 的轨迹方程为 .

（2）走私船在直线 上侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线最短.

理由：设 的延长线与（1）中曲线交于点 ，则 , ．