Question

如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

Answer

（1） 或（2） 或

【解析】

（1）通过直线与直线的交点求得圆心 ，写出圆的方程.再分斜率存在和不存在两种情况，设出切线方程，，再利用圆心到直线的距离等于半径求解.

（2）设点 ，根据，求得关于点M的圆方程，再根据点 在圆C上，然后若这样的点存在，则由两圆相交求解.

（1）根据题意，圆心在直线上，也在直线上，

解得 ，所以 ，

所以圆 ，

当斜率存在时，过点 的切线方程可设为，

即，

则，

解得 或 ，

所以切线直线方程为 或 ，

当斜率不存在时，直线 不与圆相切，

综上：所求切线方程为 或，

（2）设点 ，

因为，

则 ，

即点的轨迹方程为，

又点在圆上，所以，

若存在这样的点存在，

则与有交点，

即两圆的圆心距 满足 ，

即，

解得 或