Question

如图，平面上定点到定直线的距离，为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且；

（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，已知，，求证：为定值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系：则F（0，1），设动点P（x，y），则动点Q（x，-1），则有，，再由 求解.

（2）根据题意以及，，知 ，于是转化为，再根据抛物线的定义，过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，有=，两者联立可得结论.

（1）

以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系：

则，F（0，1），

设动点P的坐标为（x，y），则动点Q的坐标为（x，-1），

所以，，

由 ，

得.

（2）由已知，，

如图：向量同向，所以，向量异向，所以，

所以，

过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，

由三角形的相似性得，

由抛物线的定义知 ，

所以，

所以，

所以 .