Question

已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）圆是以为直径的圆，一直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点、，当，且满足时，求的面积的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）先利用平面向量共线得到是线段的中点，再利用三角形的中位线和待定系数法进行求解；（Ⅱ）先利用直线与圆相切得到，再联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再利用平面向量的数量积和判别式为正、三角形的面积公式得到有关表达式，再利用函数的单调性进行求解.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以 是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以，又因为 ，

解得，所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）因为直线与相切，所以，即

联立得.

设

因为直线与椭圆交于不同的两点、，

所以，

，

，又因为，所以

解得.

，

设，则单调递增，

所以，即