Question

已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于点，且.

（1）求直线的方程；

（2）求圆的方程；

（3）是否存在点在圆上，使得的面积为？若存在，请指出共有几个这样的点？说明理由，并求出这些点的坐标.

Answer

(1) (2)或;（3）存在，有两个点,当时,点坐标为或;当时,点坐标为或

【解析】

（1）由题意知直线垂直平分线段，由的坐标求得所在直线的斜率，可得所在直线的斜率，再由中点坐标公式求得中点坐标，代入直线点斜式方程即得答案;

（2）由题意知线段为圆的直径，可得.设圆P的方程为，把的坐标代入圆的方程，联立求得的值，即可求得圆的方程;

(3)由,当的面积为时,则点到直线的距离为，又因为圆心到直线的距离为,且，可知圆上共有两个点满足条件，通过求出的平行直线和圆联立即可求出点坐标.

(1)由题意知直线垂直平分线段，

中点坐标,又 ，，

∴直线的方程为，即；

(2)由题意知线段为圆的直径，

设圆P的方程为，

∵圆经过点，

，

解得或.

∴圆的方程为或.

（3）,当的面积为时,点到直线的距离为，又因为圆心到直线的距离为，圆的半径为,且，

圆上共有两个点,使的面积为18.

点在与直线平行且距离直线的为的直线上，同时圆心到直线的距离为.直线与圆的交点即为所求点.

当时,可求得直线

或，所以此时点坐标为或;

当时,可求得直线

或，所以此时点坐标为或;