Question

已知圆的圆心在原点，半径为，若圆与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）设点在轴的负半轴上，以点、和点 为顶点的三角形的面积为.

（1）求圆的半径及点的坐标；

（2）若过点的直线与圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围.

Answer

(1)圆的方程为:, ,;(2)

【解析】

(1)由圆与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为,求得,即可求得圆的方程

设点由,,以点、和点为顶点的三角形的面积为,即可得出到直线的距离为.即可求得.

（2）设出直线的方程,将直线的方程与圆方程联立，利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等关系，求出的范围.

(1)圆与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为

,圆的方程为:.

设点，,,以点、和点为顶点的三角形的面积为,得出到直线的距离为.则,求得(舍)或,.

所以:圆的方程为:, ,.

(2)

如图，设的坐标分别为，,线段的中点为，由得:,

由

解得：.

因为,,,

因为,所以不可能在轴右边,又直线，,当落在正方形内（包括边界）时,则有，

即化简得：,

解得:.

直线的斜率的取值范围