Question

在直角梯形（如图1），，，，，为线段中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体（如图2）.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过计算结合勾股定理的逆定理可以证明，再根据面面垂直的性质定理进行证明即可；

（2）法一、

取的中点连接，根据，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；

法二、

取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面，连接，因为分别为和的中点，所以，由（1）可知，故以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.运用向量法求解即可.

【解析】
（1）由题设可知，，

∴∴

又∵平面平面，平面平面

∴面.

（2）法一、等体积法

取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面

∵且

而

∴到面的距离，

所以.

法二、向量法

取的中点连接，由题设可知为等腰直角三角形，所以面，连接，因为分别为和的中点，所以，由（1）可知，故以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，

∴

∴面的一个法向量

∴