Question

已知动点P到点的距离与它到直线l：的距离d的比值为，设动点P形成的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点的直线与曲线C交于A，B两点，设，，过A点作，垂足为，过B点作，垂足为，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设，根据直接法求出曲线的方程即可；

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，或3，不成立；当直线的斜率不为0时，设直线AB的方程为，，，联立直线和椭圆的方程，得：，根据韦达定理得出，，进而求出的范围，再根据可得出的取值范围.

（1）设，由题意得，整理化简得，

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，或3，不成立；

当直线的斜率不为0时，设直线AB的方程为，，，

消去x，化简整理得，，

，，

∵，∴，即，

∴，①

，②

由①②消去，可得.

∵，∴，

∴，解得，

∴，

∴.