Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

（Ⅱ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.

Answer

（Ⅰ）在，单调递增，证明见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）先求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，结合零点存在性定理证得有且仅有两个零点.

（Ⅱ）令，得.利用求得曲线在处的切线，求得与此切线的斜率相等的曲线的切线方程，利用判断出这两条切线方程相同，由此证得结论成立.

（Ⅰ）的定义域为，

因为，所以在，单调递增.

因为，，所以在有唯一零点，

因为，由，得；

因为，所以在有唯一零点.

综上，有且仅有两个零点.

（Ⅱ）由题设知，即，

由，得，曲线在处的切线为：

，即.

由，得，则曲线的斜率为的切线的切点横坐标满足，解得，代入，得，

故曲线的斜率为的切线方程为，即，

由，得，从而与为同一条直线.