Question

已知（且）是R上的奇函数，且.

（1）求的解析式；

（2）若关于x的方程在区间内只有一个解，求m的取值集合；

（3）设，记，是否存在正整数n，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；

（2）m的取值集合或}

（3）存在，

【解析】

（1）利用奇函数的性质得到关于实数k的方程，解方程即可，注意验证所得的结果；

（2）结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f的符号即可；

（3）可得，即可得：

即可.

（1）由奇函数的性质可得：

，解方程可得：.

此时，满足，即为奇函数.

的解析式为：；

（2）函数的解析式为：，

结合指数函数的性质可得：在区间内只有一个解.

即：在区间内只有一个解.

（i）当时，，符合题意.

（ii）当时,

只需且

时，，此时，符合题意

综上，m的取值集合或}

（3）函数为奇函数

关于对称

又

当且仅当时等号成立

所以存在正整数n，使不得式对一切均成立.