Question

如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．

再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．

（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到 ，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.

（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；

所以折叠后，，, 又，平面，

所以平面

因为四边形为菱形，所以．

又点为线段的中点，所以．

所以四边形为平行四边形．

所以．

又平面，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）图1中，由已知得，，

所以图2中，，又

所以，所以

又平面，所以

又，平面，

所以平面，

所以．

所以三棱锥的体积为．