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如图1,已知菱形的对角线交于点,点为线段的中点,,,将三角形沿线段折起到的位置,...

如图1,已知菱形的对角线交于点,点为线段的中点,,将三角形沿线段折起到的位置,,如图2所示.

(Ⅰ)证明:平面平面

(Ⅱ)求三棱锥的体积.

 

(Ⅰ)见证明;(Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)折叠前,AC⊥DE;,从而折叠后,DE⊥PF,DE⊥CF,由此能证明DE⊥平面PCF. 再由DC∥AE,DC=AE能得到DC∥EB,DC=EB.说明四边形DEBC为平行四边形.可得CB∥DE.由此能证明平面PBC⊥平面PCF. (Ⅱ)由题意根据勾股定理运算得到,又由(Ⅰ)的结论得到 ,可得平面,再利用等体积转化有,计算结果. (Ⅰ)折叠前,因为四边形为菱形,所以; 所以折叠后,,, 又,平面, 所以平面 因为四边形为菱形,所以. 又点为线段的中点,所以. 所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面,所以平面. 因为平面,所以平面平面. (Ⅱ)图1中,由已知得,, 所以图2中,,又 所以,所以 又平面,所以 又,平面, 所以平面, 所以. 所以三棱锥的体积为.
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