Question

函数是实数集上的奇函数, 当时， .

（1）求的值；

（2）求函数的表达式；

（3）求证：方程在区间(0，＋∞)上有唯一解．

Answer

（1）2（2）f(x)＝（3）见解析

【解析】

试题

（1）由题函数 是实数集 上的奇函数．所以 ．则易求

（2）由题函数 是当上的奇函数 ；

又当 时， ，所以 所以－f(x)＝log2(－x)－x－3，从而f(x)＝－log2(－x)＋x＋3．

所以

（3）因为 ，所以方程 在区间 上有解

又方程 可化为 设函数 以下证明方程 在区间上只有一个解即可．

试题解析（1）函数f(x)是实数集R上的奇函数．

所以f(－1)＝－f(1)．

因为当x＞0时，f(x)＝log2x＋x－3，所以f(1)＝log21＋1－3＝－2．

所以f(－1)＝－f(1)＝2．

（2）当x＝0时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0；

当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝log2(－x)＋(－x)－3＝log2(－x)－x－3．

所以－f(x)＝log2(－x)－x－3，从而f(x)＝－log2(－x)＋x＋3．

所以f(x)＝

（3）因为f(2)＝log22＋2－3＝0，所以

方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有解x＝2．

又方程f(x)＝0可化为log2x＝3－x．

设函数g(x)＝log2x，h(x)＝3－x．

由于g(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数

h(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数，

所以，方程g(x)＝h(x) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．

所以，方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．