Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米；上部是等边三角形，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆.

（1）设与之间的距离为米，试将的面积（平方米）表示成关于的函数；

（2）求的面积（平方米）的最大值.

Answer

（1）；（2）平方米.

【解析】

（1）采用分类讨论的方法，当时，利用面积公式即可；当时，连接交于点，交于点，计算，利用相似，可得，可得结果.

（2）根据（1）的结论，研究函数的单调性，可得结果.

（1）①当在矩形区域滑动，即时，

所以的面积；

②当在三角形区域滑动，即时，

如图，连接，交于点，交于点，

∵为中点，

∴为中点，，且.

又∵//，

∴.

∴，即.

故的面积

即；

综合可得：

.

（2）①当在矩形区域滑动时，

，所以有；

②当在三角形区域滑动时，

，

当（米）时，

得到最大值，最大值（平方米）.

∵，

∴有最大值，最大值为平方米.