Question

已知函数.

（1）若是奇函数，求的值；

（2）若，，且对任意的实数都成立，求的取值范围；

（3）对于任意的，总有，求的取值范围.

Answer

（1）0；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据奇函数的判断方法，可得结果

（2）利用换元法，结合构造函数可得，然后根据讨论对称轴与的位置，可得结果.

（3）根据题意等价转换为，结合分类讨论的方法，讨论与区间的位置关系，判断函数的单调性并求出最值，可得结果.

（1），

由对任意恒成立，所以.

（2）依题意：

，

令，

则，

当对称轴时，

，，

当对称轴时，

，，则，

综上：.

（3）法1：取，，

可得，，

所以，.

函数在区间上的最小值

最大值为在或，所以

，

解得：.

法2：分四种情况进行讨论，

当时，即时，

在上单调增，

，，，

当时，即时，

在上单调减，

，，，

当，即时

，，

，

得，∴.

当，即时

，，

，

得，∴.

综上，.