Question

已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.

（1）若且，证明：函数必有局部对称点；

（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数的取值范围；

（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据新定义的“局部对称点”的概念，计算，可得结果.

（2）根据“局部对称点”的概念，利用分离参数的方法，可得，然后构造新函数，研究新函数的值域与的关系，可得结果.

（3）根据“局部对称点”的概念，以及换元法，可得在有解然后构造函数，利用函数性质，可得结果.

（1）由

得，

代入得，

，

得到关于的方程，，

则函数必有局部对称点.

（2）方程在区间上有解

则，设，

，，其中，

所以.

（3），

由于，所以

，

则

所以可知方程在上有解，

令，则，

解法1：当时，

由，可得

.

，则，

从而在有解

即可保证为“局部奇函数”.

令，

当，

在有解，

由，即，

解得；

当时，

在有解

等价于，

解得.

综上，所求实数的取值范围为.

解法2：方程变为

在区间内有解，其中一个根为

需满足条件：

，

即，

化简得.