Question

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）B=（Ⅱ）

【解析】

(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①

在三角形ABC中，A=－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB

又B(0，)，∴B=

(2) S△ABCacsinBac，

由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，

整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，

则△ABC面积的最大值为（2）1．