Question

已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，是中点，是的中点，是上的点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当是中点，且时，求二面角的余弦值．

Answer

(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】

试题（Ⅰ）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（Ⅱ）利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）连接，

∵底面为菱形，，

∴是正三角形，

∵是中点，∴，

又，∴，

∵平面，平面，∴，

又，∴平面，

又平面，

∴平面平面．

【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，两两垂直，

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则

则，，，，，

，

∴，，，

设是平面的个法向量，

则，取，得，

同理可求，平面的个法向量，

则．

观察可知，二面角的平面角为锐角

∴二面角的平面角的余弦值为．