Question

如图，在直角坐标系中，椭圆的上焦点为，椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程.

（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）直线的方程为.

【解析】

试题（1）根据椭圆的离心率为，且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，由，求得点坐标，求得点坐标，根据向量数量积的坐标运算列方程求得，即可求得直线的方程.

试题解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以

即可得，所以椭圆的方程为，

把点代入中，

解得

所以椭圆方程为

（2）设直线的斜率为，

则直线的方程为

由

设由（1）知，设，

则有

所以 所以

因为，所以在线段的中垂线上.

所以，又，

所以，即，

设，又直线垂直

∴

∴，即

又 ∴，

又∴

所以直线的方程为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.