Question

已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，且满足，.

（1）证明；

（2）若，，当且仅当时，取得最小值，求首项的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据等差数列的前n项和公式,变形可证明为等差数列.结合条件,,可得,进而表示出.由为等差数列,表示出,化简变形后结合不等式性质即可证明.

（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得.由,即可确定.当且仅当时，取得最小值,可得不等式组,即可得首项的取值范围.

（1）证明:等差数列的前n项和为,

则

所以,,

故为等差数列,

因为,,所以

,解得,

因为,

得

故,从而.

（2）而

.

由条件

又由等差数列性质知：

所以,

因为,所以,那么.

等差数列,当且仅当时,取得最小值.

,

所以.