Question

如图，三角形ABC为直角三角形，且，，E，F分别为AB，AC的中点，G，H分别为BE，AF的中点（如图一），现在沿EF将三角形AEF折起至，连接，，GH（如图二）.

（1）证明：平面；

（2）当平面平面EFCB时，求异面直线GH与EF所成角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点，证明平面平行平面即可得线面平行；

（2）以为坐标轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角．

（1）证明：取中点N，连接HN，GN，

易知：，平面，

所以平面，

同理：，平面，

所以平面，

又

所以：平面平面

平面，所以平面；

（2）平面平面EFBC且交于EF，

，平面，

以F为坐标原点，EF为x轴，如图建立坐标系

则，，所以，，，而，

所以.

所以异面直线GH与EF所成角的余弦值所成角余弦为．