Question

已知函数.

（1）当时，讨论极值点的个数；

（2）若a，b分别为的最大零点和最小零点，当时，证明：.

Answer

（1）两个（2）证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，由，确定单调性后再得极值点个数．

（2）先证明时，函数没有两个零点，从而，设，且是两个极值点，得，，计算，证明，可缩小范围，，得，从而证得命题成立．

（1）

则，，

，单调递减，

，单调递增，

，

当时，，，使得，

，时单调递增，

时单调递减，

有两个极值点.

综上：时，有两个极值点：

（2）证明：由（1）可知：当时，

恒成立，且的解为有限个，

所以在R上单调递增，又因为

所以有且只有一个零点，

所以：若函数有不止一个零点，则

当时，由（1）可知：，，

，时单调递增，

时单调递减，

因为，所以，

且，，当时，

令

在上单调递增，又因为为连续函数，

，

在上单调递增，又因为为连续函数，

所以：，即，

又因为，所以，，

，

所以.