Question

如图，在等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若为棱上一点，且平面分三棱锥所得的上下两部分的体积比为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用面面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.

（1）证明：在梯形中，取的中点，连接

则由平行且等于，知四边形为平行四边形

，由，知点在以为直径的圆上

又，，平面

平面

又平面

平面平面.

（2）分别取，的中点为，，连接，

由，可知

再由平面平面，为两平面的交线，平面

平面

平面，

由于在中，，则

以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系

取，则，，，

由，得

设平面的法向量为；

则由得

取得

平面的法向量为，

二面角为锐二面角，

其余弦值为.