设椭圆
（
）的左焦点为
，过且
轴垂直的直线与椭圆的一个交点为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若过点的直线
交椭圆于
两点，线段
的中点为
，过且与垂直的直线与轴和
轴分别交于
、
两点，记
和
的面积分别为
、
，若
，求直线的方程.
《复仇者联盟4：终局之战》是安东尼·罗素和乔·罗素执导的美国科幻电影，改编自美国漫威漫画，自2019年4月24日上映以来票房火爆.某电影院为了解在该影院观看《复仇者联盟4》的观众的年龄构成情况，随机抽取了100名观众的年龄，并分成
，
，
，
，
，
，
七组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100名观众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）、中位数；
（2）该电影院拟采用抽奖活动来增加趣味性，观众可以选择是否参与抽奖活动（不参与抽奖活动按原价购票），活动方案如下：每张电影票价格提高10元，同时购买这样电影票的每位观众可获得3次抽奖机会，中奖1次则奖励现金
元，中奖2次则奖励现金
元，中奖三次则奖励现金
元，其中
且
，已知观众每次中奖的概率均为
.
①以某观众三次抽奖所获得的奖金总额的数学期望为评判依据，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少；
②据某时段内的统计，当
时该电影院有600名观众选择参加抽奖活动，并且每增加1元，则参加抽奖活动的观众增加100人.设该时间段内观影的总人数不变，抽奖活动给电影院带来的利润的期望为
，求的最大值.
如图，在等腰梯形
中，
，
，现以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
为棱
上一点，且平面
分三棱锥
所得的上下两部分的体积比为
，求二面角
的余弦值.
重庆市第八中学校为了解学生喜爱运动是否与性别有关，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到如图所示的
列联表.
| 喜爱运动 | 不喜爱运动 | 合计 |
男生 | 22 | 8 | 30
|
女生 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
附：
，
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜爱运动”与“性别”有关；
（2）用分层抽样的方法从被调查的20名女生中抽取5名进行问卷调查，求抽取喜爱运动的女生、不喜爱运动的女生各有多少的人；
（3）在（2）抽取的女生中，随机选出2人进行座谈，求至少有1名是喜爱运动的女生的概率.
在直角坐标系
中，已知直线
过原点，倾斜角为
，
的圆心为
，半径为2，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出直线和的极坐标方程；
（2）已知点
为极轴与的交点（异于极点），点
为直线与在第二象限的交点，求
的面积.
若
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
__________.
