Question

己知函数.

（1）当时，求的单调区间和极值；

（2）讨论的零点的个数.

Answer

（1）见解析；（2）当或时，有1个零点；当且时，有2个零点.

【解析】

（1）利用导数证明函数的单调性以及即可；

（2）对参数的值进行分类讨论，确定函数的单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数.

（1）的定义域为，

则在上单调递增

又，所以当时，

当时，

即的单调递减区间为，单调递增区间为

故的极小值为，无极大值

（2）当时，由（1）知

故仅有一个零点；

当时，，令；

令，所以在上单调递增；

令，所以在上单调递减，且，，

所以，最小值与0的比较等价于与0的大小比较，

所以分三类进行讨论：

①当时，即时，由在上单调递减及在上单调递增，且，

由零点存在定理，得在上存在唯一零点，设为所以

0

0

0

递增

极大值

递减

极小值

递增

又及

由零点存在定理，得在上存在唯一零点，设为，

综上，当时，在上存在2个零点（一个为，一个为）；

②当时，即时，由在上单调递减及在上单调递增，

且，得在上单调递增，

故在上只有一个零点；

③当时，同理可得在上存在2个零点：一个为，一个为

综上可得，当或时，有1个零点；

当且时，有2个零点.