Question

递增的等差数列的前项和为.若与是方程的两个实数根.

（1）求数列的通项公式；

（2）当为多少时，取最小值，并求其最小值；

（3）求.

Answer

（1）；（2）所以当或12时，取最小值，最小值为；（3）

【解析】

（1）先根据韦达定理得两方程，再转化为首项与公差关系，解得结果代入等差数列通项公式；

（2）先根据通项公式确定变号的项，即可判定何时取最小值，再根据等差数列求和公式求最小值;

（3）由（2）知，需分类讨论，根据项的符号去绝对值，再根据去绝对值后与原数列和项关系求结果.

（1）因为与是方程的两根，所以，又，

解得或，又因为该等差数列递增，所以，

则公差，，

所以；

（2）由，即，解得，

又，所以当或12时，取最小值，最小值为；

（3）由（2）知，当时，当时，

①当时，

；

②当时，

，

所以.

注：答案还可以为或.