Question

已知数列的前项和为，，数列满足，点在直线上.

（1）求数列，的通项公式，；

（2）令，求数列的前项和；

（3）若，对所有的正整数都有成立，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）先根据和项与通项关系求数列的通项公式，再根据等差数列定义以及通项公式求的通项公式；

（2）根据错位相减法求数列的前项和；

（3）先根据作差法判定数列为单调递减数列，再根据不等式恒成立转化为，最后利用变量分离法求的取值范围.

（1）∵，∴，即，

当时，，

∴，

∴，

∴是首项为，公比为2的等比数列，因此，，

因为在直线上，所以，

而，所以.

（2）∵，

∴③

因此④

③－④得：

，

∴.

（3）由（1）知，，

∵，

∴数列为单调递减数列；

∴当时，.即的最大值为1.

由可得，，

而当时，当且仅当时取等号，

∴.