Question

已知函数的定义城是R，对任意的实数m，n，都有，且，当时，．

（1）求，，；

（2）判断函数的单调性，并证明；

（3）若对任意的恒成立，求t的取值范围．

Answer

（1）（2）在R上单调递增，见解析（3）

【解析】

（1）根据，且，利用赋值法求解；

（2）由函数的单调性定义证明且．再作差变形可得

，再由当时，，判断符号，即可得证；

（3）将对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，再利用在R上递增求解.

（1）

（2）在R上单调递增，证明如下：

且．

．

对任意的实数m，n都有．

．

．

又，

即．

在R上递增．

（3）原问题对任意的恒成立

在R上递增，

对任意的恒成立．

令，则．

，．

，即．