Question

已知函数.

（1）证明函数在定义域上单调递增；

（2）求函数的值域；

（3）令，讨论函数零点的个数.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点

【解析】

（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；

（2）由题意得，对两边同时平方得，求出

的取值范围即可得解；

（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.

（1）证明：令，解得，故函数的定义域为

令，

由，可得，所以，，

故即，所以函数在定义域上单调递增.

（2）由，，故，

，

当时，，有，可得：，故，

由，可得，故函数的值域为，

（3）由（2）知，

则，

令，则，

令，

①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；

②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；

③当时，，二次函数开口向下，对称轴，

又 ，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.

综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.