Question

已知椭：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段的垂直平分线的方程；

（3）求三角形的面积.（为坐标原点）

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由条件得到，求椭圆方程；

（2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程；

（3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积.

（1）由题意可知，， ，，

椭圆的方程是；

（2）椭圆的左焦点 ,直线的方程是 ，

与椭圆方程联立，得，

，，

代入直线的方程得，线段的中点是，

并且线段的垂直平分线的斜率是-1，

线段的垂直平分线的方程是，即；

（3）由（2）可知， ，

，

原点到直线的距离，.