Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱上一点，

（1）当为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值.若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式

求解；

（2）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置.

由条件可知三条线两两垂直，

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

， ，，，

，,

设平面的法向量是 ，

由，得 ，令 ，则 ， ，

,,

直线与平面所成角的正弦值是；

（2）设 ，，

设平面的法向量是 ，

由，得，令 ，则， ，

，平面的法向量 ，

，解得：

即是的中点，即.