Question

如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于，连接.

（1）求证：；

（2）点是上一点，若平面，则为何值？并说明理由.

（3）若，求二面角的余弦值.

   

Answer

(1)证明见详解；(2)，理由见详解；（3）.

【解析】

（1）通过证明EF平面PBD，即可证明；

（2）通过线面平行，将问题转化为线线平行，在平面图形中根据线段比例进而求解；

（3）根据（1）（2）所得，找到二面角的平面角，然后再进行求解.

（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，

故DAAE，DC，即折叠后的DP

又因为平面PEF，平面PEF，

故DP平面PEF，又平面PEF，故.

在正方形ABCD中，容易知EF，

又平面PBD，平面PBD，

故EF平面PBD，又平面PBD

故，即证.

（2）连接BD交EF于O，连接OM，作图如下

因为//平面，平面PBD，平面PBD平面=MO

故//MO

在中，由，以及E、F分别是正方形ABCD两边的中点，

故可得即为所求.

（3）过M作MH垂直于BD，垂足为H，连接OP，作图如下：

由（1）可知：EF平面PBD，因为MH平面PBD，故EF

又，平面EDF，BD平面EDF，故MH平面EDF，

又因为BDEF，故即为所求二面角的平面角.

设正方形ABCD的边长为4，因为，故PM=1，

故在中，PM=1，EP=2，根据勾股定理可得ME

同理：在中，PM=1，PF=2，根据勾股定理可得MF=

又EF=

故在等腰三角形EMF中，因为O是EF的中点，故MO=.

由（1）可知，PD平面PEF，又OP平面PEF，故PDOP，

则，故可得，

又在中，PE=PF=2，EF=2，O为斜边EF上的中点，故OP=，

又因为MD=3，OD=

故可解得MH=

故在中，MH=1，MO=，由勾股定理可得OH=

故.

故二面角的余弦值为.