Question

如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）设E是上一点，试确定E的位置使平面平面BDE，并说明理由.

Answer

（1）证明见详解，（2）证明见详解，（3）当为的中点时，平面平面BDE，证明见详解

【解析】

（1）连接与相交于，可得，结合线面平行的判定定理即可证明平面

（2）先证明和即可得出平面，然后可得，又，即可证明平面

（3）当为的中点时，平面平面BDE，由已知易得，结合平面可得平面，进而根据面面垂直的判定定理得到结论.

（1）如图，连接与相交于，则为的中点

连接，又为的中点

所以，又平面，平面

所以平面

（2）因为，所以四边形为正方形

所以

又因为平面，平面

所以

所以平面，所以

又在直三棱柱中，

所以平面

（3）当为的中点时，平面平面BDE

因为分别是的中点

所以,因为平面

所以平面，又平面

所以平面平面BDE