Question

在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．

（1）求圆的方程；

（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点．曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ．由与轴的交点为 关于点(3,0)对称，故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为．（2）设，，由可得，进而可得，减少变量个数．因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程．因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入，化简可求得，满足，故．

（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为

．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．

（2）设，，其坐标满足方程组

消去，得方程．

由已知可得，判别式，且，． 

由于，可得．

又，

所以． 

由得，满足，故．