Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，E，F分别为AD，PB的中点.

(1)求证：平面ABCD；

(2)求证：平面PCD；

(3)求四棱锥的体积.

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

(1)由面面垂直的性质定理即可得证；

(2) 取PC的中点H，连接DH，FH，只需证明四边形EFHD为平行四边形即可得证；

(3)先求出四棱锥的高，再结合棱锥的体积公式求解即可.

证明：(1)由，E为AD的中点.

则PE⊥AD.

又平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD.平面PAD.

∴平面ABCD；

(2)取PC的中点H，连接DH，FH，

在三角形PCD中，FH为中位线，可得，

，

由，，

可得，，

四边形EFHD为平行四边形，

可得，

平面PCD，平面PCD，

即有平面PCD.

(3)∵..∴.

∵平面ABCD，

∴.