Question

已知点、，若直线的图像上存在点，使得成立，则说直线是“型直线”.给出下列直线：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）（常数）

其中代表“型直线”的序号是___________.（要求写出所有型直线的序号）

Answer

（3）（4）（5）

【解析】

由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，与直线的方程联立，若方程组有解，则这条直线就是“型直线”，依此逐一判断即可.

由椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，

.

所以椭圆的方程为.

对于（1），由方程组，得不成立，方程组无解.所以直线不是“型直线”.

对于（2），由方程组，得不成立，方程组无解.所以直线不是“型直线”.

对于（3），由方程组，得，由，方程组有解，所以直线是“型直线”.

对于（4），由方程组，得，由，方程组有解，所以直线是“型直线”.

对于（5），因为（常数）过定点，且点在椭圆的内部，所以直线与椭圆有交点，所以直线（常数）是“型直线”.

故答案为：（3）（4）（5）.