Question

已知各项为正数的数列的前项和为，且.

（1）求的值，并求的解析式（用含的式子表示）；

（2）若对于一切正整数，有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）,；（2）.

【解析】

（1）由求的值，由两端平方求，再写出，相减可求.

（2）由（1）可知，数列是等差数列，公式法求出和，参变量分离，把不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，求出的取值范围.

（1），，

当时，，解得.

由，得.

.

，

即，

即

，

.

.

（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为2的等差数列，

，

.

由，得，即对一切正整数恒成立.

.

令，则.

当时，.

.