Question

已知直线，点，点是平面直角坐标系内的动点，且点到直线的距离是点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，若（是坐标系原点）的面积为，求直线的方程；

（3）若（2）中过点的直线是倾斜角不为0的任意直线，仍记与曲线的交点为、，设点为线段的中点，直线与直线交于点，求的大小.

Answer

（1）；（2）直线或；（3）.

【解析】

（1）由题意可得，化简可得曲线的方程.

（2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况.当直线的斜率不存在时，求出的面积，易判断是否成立. 当直线的斜率存在时，设直线，由方程组消元，韦达定理可求弦长，又点到直线的距离，所以的面积，可求值，即可求直线的方程.

（3）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况. 当直线的斜率不存在时，易求的值. 当直线的斜率存在时，设直线.由（2）中的结论可得点的坐标，可写出直线的方程，求出点的坐标.最后用向量的方法求的值.

（1）根据题意，可知，，

化简得.

.

（2）因为直线过焦点，故直线与椭圆总交于、两点.

若直线与轴垂直，可算得，，不满足条件.

于是，所求直线的斜率存在.

设直线的斜率为，即.

联立方程组，得（此时恒成立）.

，

点到的距离为.

，

化简得，即

解得.

所求直线或（或表示为一般式方程）.

（3）若直线的斜率不存在，即垂直轴，

根据椭圆的对称性，知点与点重合，点，此时，有.

若直线的斜率存在，设.

由（2）可得，

.

直线的倾斜角不为零，.

直线.

.

方法1：算得.又直线方向向量为，

且..

.（多想少算）

综上，不论直线的斜率存在与否，总有.

方法2：算得，与的交点为，.

可得向量与的夹角满足，

即，，.

综上，不论直线的斜率存在与否，总有.