Question

如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥平面BCE；

(2)求证：AE∥平面BFD；

(3)求三棱锥C－BGF的体积．

Answer

（1）见详解；（2）见详解；（3）

【解析】

(1)证明 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.

又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，

又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.

(2)证明 由题意可得G是AC的中点，连结FG，

∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.

而BC＝BE，∴F是EC的中点，

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD.

(3)∵AE∥FG.

而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCF.

∵G是AC中点，F是CE中点，

∴FG∥AE且FG＝AE＝1.

∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝，

∴S△CFB＝××＝1.

∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝.