Question

如图，已知四棱锥，侧面是正三角形，底面为边长2的菱形，，.

（1）设平面平面，求证：；

（2）求多面体的体积；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，证得平面，再由线面平行的性质，即可得到；

（2）取中点，连结，推得，，得到平面，

再由多面体的体积，结合体积公式，即可求解；

（3）由，设的中点为，连结，推得，从而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.

证明：（1）因为平面平面，

所以平面，

又平面，平面平面，所以；

（2）取中点，连结，由得，

同理，又因为，所以平面，

在中，，所以，

所以多面体的体积

；

（3）由题意知，底面为边长2的菱形，，

所以，又，所以，

设的中点为，连结，

由侧面是正三角形知，，所以，

因此就是二面角的平面角，

在中，，，

由余弦定理得，

二面角的余弦值为.