Question

已知偶函数.

（1）若方程有两不等实根，求的范围；

（2）若在上的最小值为2，求的值.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）由偶函数的定义，利用，求得的值，再由对数函数的单调性，结合题设条件，即可求解实数的范围；

（2）利用换元法和对勾函数的单调性，以及二次函数的闭区间上的求法，分类讨论对称轴和区间的关系，即可求解.

（1）因为，所以的定义域为，

因为是偶函数，即，

所以，故，

所以，即方程的解为一切实数，所以，

因为，且，

所以原方程转化为，

令，，

所以所以在上是减函数，是增函数，

当时，使成立的有两个，

又由知，与一一对应，

故当时，有两不等实根；

（2）因为，所以，

所以，

令，则，令，设，

则，

因为，所以，即在上是增函数，

所以，

设，则.

（i）当时，的最小值为，

所以，解得，或4（舍去）；

（ii）当时，的最小值为，不合题意；

（iii）当时，的最小值为，

所以，解得，或（舍去）.

综上知，或.