Question

（1）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，证明余弦定理：；

（2）长江某地南北岸平行，如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度，水流速度，设和的夹角为θ（），北岸的点在点A的正北方向.

①当多大时，游船能到达处，需要航行多少时间？

②当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）①时，需要航行；②左侧，理由见解析

【解析】

（1）利用，两边平方即可证明；

（2）①游船能到处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，得到，从而解出，再解出游船垂直江岸方向的速度，即可求得所需时间；②判断游船水平方向上速度向左，即可判断游船到达的左侧.

（1）利用向量法证明余弦定理：

在中，，

两边平方可得：，

即，

余弦定理得证；

（2）①若游船能到处，则游船在水平方向上的速度和水流速度大小相等，

则有，得，

所以，

因为，所以，

此时游船垂直江岸方向的速度，

时间，

即当时，游船能到达处，需要航行；

②时，游船水平方向的速度大小为，

方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧.