Question

已知曲线的一个最高点为，与点相邻一个最低点为，直线与轴的交点为.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调增区间；

（3）若时，函数恰有一个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据最高点坐标,可得;由最高点和最低点连线与轴的交点可求得周期,进而得.将最高点坐标代入解析式,结合的取值范围,即可求得函数的解析式;

（2）由（1）可得函数的解析式,由余弦函数的图像与性质即可求得函数的单调增区间.

（3）代入解析式,分离参数可得.根据方程只有一个根,求得的值域,即可求得的取值范围.

（1）由题知最高点,所以,

最高点和最低点连线与轴的交点可得,则；

则

由最高点坐标可知,

解得,,

因为,所以.

所以.

（2）由（1）可知

函数的单调增区间,由余弦函数的图像与性质可知,

解得,,

所以单调递增区间为.

（3）

变形可得

即在上只有一个根.

因为,所以.

则

所以,或,

所以的取值集合为：.